Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的中點，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（Ⅰ）求證：BD⊥EG；
（Ⅱ）求EG和平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-DC-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以E為原點，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，欲證BD⊥EG，只需證與的數量積為零即可；
（Ⅱ）先求出面ABCD的法向量為1，然后求出法向量為1與的夾角，根據EG和平面ABCD所成的角與法向量為1與的夾角互補即可求得；
（Ⅲ）先求出平面DFC的法向量為2，利用兩平面的法向量求出兩向量的夾角的余弦值，從而得到二面角B-DC-F的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間坐標系，
則A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），G（2，2，0），F（0，3，0）．
=（2，2，0），=（-2，2，2），（2分）
∴cos＜，＞=0，
∴BD⊥EG．（5分）
（Ⅱ）設面ABCD的法向量為1=（x，y，z）則，，
即設x=1，即，（7分）
cos＜＞=，
EG和平面ABCD所成的角為30°．（10分）
（Ⅲ）設平面DFC的法向量為，，，
取x=1，，（12分）
cos＜＞=0，
∴所以二面角B-DC-F的斜弦值為0．
點評：立幾中對空間的線線、線面、面面關系的考查是主線，在理科生中對空間向量的要求也是課標要求．