Question

已知函數f（x）=2^x，f^-1（x）是f（x）的反函數，那么f^-1（4-x²）的單調遞減區(qū)間是（ ）
A．[0，+∞]
B．（-∞，0）
C．[0，2]
D．（-2，0）

Answer 1

【答案】分析：先依據求反函數的方法求出f（x）的解析式，再換元可得f ^-1（4-x²）的解析式，利用復合函數的單調性從而確定函數的單調減區(qū)間．
解答：解：∵f（x）=2^x的反函數為 f^-1（x）=log₂x，
∴f ^-1（x）=log₂x，
f ^-1（4-x²）=，
令t=4-x²，當t＞0時，得，-2＜x＜2，∴函數定義域為（-2，2）
根據二次函數單調性，對于函數t=4-x²，x的取值在對稱軸右側時為減函數，此時復合函數為減函數．
結合函數定義域，可得，當0＜x＜2時函數y=log₂（4-x²）為減函數
∴在（0，2）上函數值y=f^-1（4-x²）隨自變量x的增大而減小，
故選C．
點評：本題考查求反函數的方法、函數單調性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．