Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x為始邊，角α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求S_△AOB．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，設(shè)B（cosα，sinα），其中．根據(jù)OA⊥OB，利用向量的數(shù)量積為零列式，可得cosα=3sinα，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求出tana的值．
（2）根據(jù)題意，求出B的坐標(biāo)為（，），從而得到向量、的數(shù)量積，然后運(yùn)用夾角公式算出cos∠AOB=，再用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系算出sin∠AOB=，最后根據(jù)||=1、||=運(yùn)用正弦定理的面積公式，即可得到S_△AOB的值．
解答：解：∵點(diǎn)B在單位圓上，且在第一象限
∴設(shè)B（cosα，sinα），
（1）∵OA⊥OB，
∴•=0，即-cosα+3sinα=0，
可得cosα=3sinα，所以tanα==；
（2）∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
∴cosα=，可得sinα==（舍負(fù)）
因此B的坐標(biāo)為（，）
∵A（-1，3），可得||==
∴cos∠AOB===
由此可得，sin∠AOB==
因此，S_△AOB=||•||sin∠AOB=××1×=．
點(diǎn)評：本題給出單位圓與角α在第一象限的交點(diǎn)為A，求α的正切值，并求三角形AOB的面積．著重考查了三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和向量數(shù)量積公式、夾角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．