Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求a₂；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（n+1）²（n∈N），T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n，n∈N，求T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）S₁=4，∴a₂=3．
（Ⅱ）∵nS_n+1=（n+3）S_n…①∴當(dāng)n≥2時(shí)，有（n-1）S_n=（n+2）S_n-1…②
①-②有na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），
∴2a3=4a₂，3a₄=5a₃，…（n-1）a_n=（n+1）a_n+1（n≥3）
將以上各式左右兩端分別相乘，得（n-1）a_n=a₂，，∴a_n=，n≥3，
當(dāng)n=1，2時(shí)也成立，∴a_n=（n∈N⁺）．
（Ⅲ）∵b_n=（n+1）²（n∈N），∴T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+（n+1）²，
當(dāng)n=4k，k∈N⁺時(shí)，T_n=-2²-3²+4²+5²+…-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²
∵-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4
∴T_n=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）²+12k=n²+3n
當(dāng)，k∈N⁺時(shí)，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=4k-1=n
當(dāng)，k∈N⁺時(shí)，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=4k-1-（4k）²=-n²-3n-3

當(dāng)n=4k-3，k∈N⁺時(shí)，，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=-4k=-n-3
∴T_n=
分析：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0．令n=1有，S₂-4S₁=0，再根據(jù)S₁=a₁，可求出S₂，進(jìn)而求出
a_2．
（Ⅱ）由 n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可求出數(shù)列{a_n}的遞推公式，再利用累乘法，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
先把（Ⅲ）b_n=（n+1）²（n∈N）代入T_n，
得，T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+（n+1）²，再按n=4k，n=4k-1，n=4k-2，
n=4k-3，分情況求出T_n，此題得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，以及根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式，做題時(shí)須認(rèn)真審題，正確解答．