Question

已知二次函數(shù)f（x）和一次函數(shù)g（x）的圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且f（x+1）=f（x）+2x，g(x)-g(x-1)=

1

4

．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式：f(x)＜

1

g(x)

．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函數(shù)f（x）和一次函數(shù)g（x）的圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），一次函數(shù)g（x）=kx（k≠0），進(jìn)而根據(jù)f（x+1）=f（x）+2x，g(x)-g(x-1)=

1

4

，構(gòu)造參數(shù)a，b，k的方程，解方程可得答案．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，可得到一個(gè)分式不等式，移項(xiàng)，統(tǒng)分后轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式不等式，解答后可得答案．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）和一次函數(shù)g（x）的圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）
又∵f（x+1）=f（x）+2x，
即a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x
即2ax+a+b=2x
解得a=1，b=-1
故f（x）=x²-x
設(shè)一次函數(shù)g（x）=kx（k≠0）
∵g(x)-g(x-1)=

1

4

．
∴kx-k（x-1）=

1

4

即k=

1

4

故g（x）=

1

4

x
（2）不等式：f(x)＜

1

g(x)

．
可化為x²-x＜

4

x

即

x(x2-x)-4

x

＜0
即

x3-x2-4

x

＜0
即x（x³-x²-4）＜0
即x（x-2）（x²+x+2）＜0
解得0＜x＜2
故關(guān)于x的不等式：f(x)＜

1

g(x)

解集為（0，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求解及常用方法，分式不等式的解法，其中（1）中已經(jīng)函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法求解，（2）的關(guān)鍵是要將不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．