Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+lnx+b．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=2，求a、b的值；
（Ⅱ）若a=1，函數(shù)f（x）的圖象能否總在直線y=b+1的下方？若能，請加以證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率為0，以及切點在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出a與b的值；
（II）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，f（x）只有一個極大值，故它為最大值，欲使函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=b+1的下方，只需f（x）_max＜b+1即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+ax+lnx+b
∴f′(x)=-2x+a+

1

x

=

-2x2+ax+1

x

（2分）
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=2，
∴

f(1)=2 f′(1)=0

，即

-1+a+b=2 -2+a+1=0

，?

a=1 b=2

（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=-x²+x+lnx+b，定義域為（0，+∞）（5分）
f′(x)=-2x+1+

1

x

=

-2x2+x+1

x

=

-(x-1)(2x+1)

x

（6分）
令f′（x）=0，得x=1或x=-

1

2

（舍去）
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0
當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：
（8分）
∴f（x）在x=1處取極大值（9分）
又f（x）只有一個極大值，故它為最大值
∴f（x）_max=f（1）=b（10分）
∵f（1）=b＜b+1，即f（x）_max＜b+1
∴函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=b+1的下方（12分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)題知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．