Question

已知拋物線y²=2px，過頂點(diǎn)的兩弦OA和OB互相垂直，求以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)出A，B坐標(biāo)；利用向量垂直的充要條件得到A，B縱坐標(biāo)的乘積是常數(shù)；寫出以O(shè)A，OB為直徑的圓；將A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)看成一個(gè)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理表示出A，B的縱坐標(biāo)乘積；列出等式得到p的軌跡方程．

解答：解：設(shè)A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)由于OA⊥OB
所以

y12•y22

4p2

+y1y2=0即y₁•y₂=-4p²   ①
以O(shè)A為直徑的圓為x(x-

y12

2p

)+y(y-y1)=0
以O(shè)B為直徑的圓為x(x-

y22

2p

)+y(y-y2)=0
設(shè)P（x₀，y₀）為兩圓的交點(diǎn)
所以y₁，y₂可以看做關(guān)于z的方程x0(x0-

z2

2p

)+y0(y0-z)=0的兩個(gè)根
即x₀z²+2py₀z-2p（x₀²+y₀²）=0
由韋達(dá)定理得y1•y2= -

2p(x02+y02)

x0

結(jié)合①得x₀²+y₀²=2px₀
所以P的軌跡方程是（x-p）²+y²=p²（x≠0）

點(diǎn)評：本題考查向量垂直的充要條件、以一線段為直徑的圓的方程、二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．