Question

16．已知曲線C：（x-y）²+y²=1在矩陣$A[{\begin{array}{l}2&{-2}\\ 0&1\end{array}}]$對應的變換下得到曲線C'，則曲線C'的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀）為曲線C上任意一點，點P在矩陣A對應的變換下得到點Q（x，y），利用$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{-2}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，然后求解曲線C′的方程．

解答 解：設P（x₀，y₀）為曲線C上任意一點，點P在矩陣A對應的變換下得到點Q（x，y），
則：$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{-2}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}_{0}-2{y}_{0}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{x}{2}+y}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，…（5分）
（注：用逆矩陣的方式求解同樣給分）
又（x₀-y₀）²+y₀²=4，∴（$\frac{x}{2}$+y-y）²+y²=1，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
∴曲線C′的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

點評 本題考查矩陣的變換，曲線方程的求法，考查計算能力，屬于基礎題．