Question

已知：函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|
（I）求不等式f（x）≤2的解集
（II）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和，而

1

2

和

5

2

在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，由此求得不等式f（x）≤2的解集．
（II）由題意可得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值大于或等于f（x），由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值為2，故有 2≥f（x），由（I）可得它的解集．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和，
而

1

2

 和

5

2

在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，故不等式f（x）≤2的解集為[

1

2

，

5

2

]．
（II）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，
故

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）恒成立，故

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值大于或等于f（x）．
由于

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，故有 2≥f（x），即|x-1|+|x-2|≤2．
由（I）可知，不等式f（x）≤2的解集為[

1

2

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．