在平面直角坐標(biāo)系中,已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是橢圓在第一象限上的任一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個(gè)定值;
(III)在第(Ⅱ)問的條件下,作,設(shè)交于點(diǎn),
證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動時(shí),點(diǎn)在某定直線上.
(Ⅰ)橢圓的方程為;(Ⅱ)3;(III)點(diǎn)在直線上.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由拋物線的焦點(diǎn)求出橢圓的焦點(diǎn),又橢圓過點(diǎn),得:,
且,,解方程組可得橢圓的方程:
(Ⅱ)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)和切線的方程,利用直線和橢圓相切的條件,證明為定值.
(III)利用(Ⅱ)的結(jié)果,由,寫出直線的方程,可解出交于點(diǎn)
的坐標(biāo),進(jìn)而證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動時(shí),點(diǎn)在某定直線上.
試題解析:(Ⅰ)由題意得 ,
又, 2分
消去可得,,解得或(舍去),則,
求橢圓的方程為. 4分
(Ⅱ)設(shè)直線方程為,并設(shè)點(diǎn),
由.
, 6分
,當(dāng)時(shí),直線與橢圓相交,所以,,
由得,, 8分
,整理得:.而,代入中得
為定值. 10分
(用導(dǎo)數(shù)求解也可,若直接用切線公式扣4分,只得2分)
(III)的斜率為:,又由,
從而得直線的方程為:,聯(lián)立方程,
消去得方程,因?yàn)?/span>, 所以 ,
即點(diǎn)在直線上. 14分
考點(diǎn):1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;3、直線與橢圓的位置關(guān)系;
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