在平面直角坐標(biāo)系中,已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是橢圓在第一象限上的任一點(diǎn),連接,點(diǎn)作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個(gè)定值;

III)在第(Ⅱ)問的條件下,,設(shè)于點(diǎn)

證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動時(shí),點(diǎn)在某定直線上.

 

【答案】

橢圓的方程;()3III點(diǎn)在直線.

【解析】

試題分析:由拋物線的焦點(diǎn)求出橢圓的焦點(diǎn),又橢圓過點(diǎn),得:,

,解方程組可得橢圓的方程:

()設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)和切線的方程,利用直線和橢圓相切的條件,證明為定值.

III利用()的結(jié)果,,寫出直線的方程,可解出于點(diǎn)

的坐標(biāo),進(jìn)而證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動時(shí),點(diǎn)在某定直線上.

試題解析:()由題意得

, 2

消去可得,,解得(舍去),則,

求橢圓的方程4

()設(shè)直線方程為,并設(shè)點(diǎn),

.

6

,當(dāng)時(shí),直線與橢圓相交,所以,

,8

,整理得:.,代入中得

為定值. 10

(用導(dǎo)數(shù)求解也可,若直接用切線公式扣4分,只得2分)

III的斜率為:,又由,

從而得直線的方程為:,聯(lián)立方程,

消去得方程,因?yàn)?/span> 所以 ,

即點(diǎn)在直線. 14

考點(diǎn):1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;3、直線與橢圓的位置關(guān)系;

 

練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn),則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn),若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn),則r=
 

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