Question

（2012•安徽模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

5π

6

，原點到該直線的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率小于零的直線過點D（1，0）與橢圓交于M，N兩點，若

MD

=2

DN

求直線MN的方程；
（3）是否存在實數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

5π

6

，可得

b

a

=

3

3

，利用原點到直線的距離，建立方程，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)MN：x=ty+1（t＜0）代入

x2

3

+y2=1，利用韋達(dá)定理及

MD

=2

DN

，即可求得直線MN的方程；
（3）將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，利用韋達(dá)定理及PQ為直徑的圓過D（1，0），建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由點A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

5π

6

，可得

b

a

=

3

3

，
∵

1

2

ab=

1

2

×

3

2

×

a2+b2

，得a=

3

，b=1，
∴橢圓方程是：

x2

3

+y2=1   （3分）
（2）設(shè)MN：x=ty+1（t＜0）代入

x2

3

+y2=1，得（t²+3）y²+2ty-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MD

=2

DN

，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=-

2t

t2+3

，y₁y₂=

-2

t2+3

    （6分）
得-2(

2t

t2+3

)2=

-2

t2+3

，∴t=-1，t=1（舍去）
直線MN的方程為：x=-y+1即x+y-1=0    （8分）
（3）將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k₂+1）x²+12kx+9=0（*）
記P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），PQ為直徑的圓過D（1，0），則PD⊥QD，即（x₃-1）（x₄-1）+y₃y₄=0，
又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，得（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0       ①
又x₃+x₄=-

12k

3k2+1

，x₃x₄=

9

3k2+1

，代入①解得k=-

7

6

   （11分）
此時（*）方程△＞0，∴存在k=-

7

6

，滿足題設(shè)條件．      （12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．