Question

18、已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），數(shù)列{a_n+1-a_n}就以a₂-a₁=3不首項，公比為2的等比數(shù)列，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用分組求和法得S_n=3（2^n-2+2^n-3+…+2）-2n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，由眥能求出使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)．

解答：解：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=3為首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1（3分）
∴n≥2時，a_n-a_n-1=3•2^n-2，，a₃-a₂=3•2，a₂-a₁=3，
累加得a_n-a₁=3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2+3=3（2^n-1-1）
∴a_n=3•2^n-1-2（當n=1時，也滿足）（6分）
（2）由（1）利用分組求和法得S_n=3（2^n-2+2^n-3++2）-2n=3（2ⁿ-1）-2n（9分）S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，
得3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，∴n＞3
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)4．（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法和計算數(shù)列前n項和的最小值，解題時要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和應用，認真審題，注意公式的合理選用．