Question

已知函數(shù)，f(x)=

-x3+x2(x＜1) alnx(x≥1)

（1）求f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的極小值和極大值點(diǎn)；
（2）求f（x）在[-1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的極小值和極大值點(diǎn)；
（2）分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f（x）在[-1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=

2

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．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		極小值		極大值

∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（0）=0，函數(shù)f（x）取得極大值點(diǎn)為x=

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3

．
（2）①當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²，
由（1）知，函數(shù)f（x）在[-1，0]和[

2

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，1）上單調(diào)遞減，在[0，

2

3

]上單調(diào)遞增．∵f(-1)=2，f(

2

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)=

4

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，f(0)=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）=alnx．
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[1，e]，上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=a．
綜上所述，當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．