Question

設(shè)a∈R，f（x）=x³-x²-x+a，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：要使函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a的圖象與直線x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，只需利用函數(shù)的最大值或最小值與0進(jìn)行比較，由于實(shí)數(shù)a的值不確定，故要分類討論．

解答：解：求一階導(dǎo)數(shù)可得f'（x）=3x²-2x-1，
兩個(gè)極值點(diǎn)分別在x=1、x=-

1

3

，
代入函數(shù)，得f（1）=a-1，f（-

1

3

）=a+

5

27

，
當(dāng)a-1＞0時(shí)，f（1）＞0，得出a＞1，
當(dāng)a+

5

27

＜0時(shí)，f（-

1

3

）＜0，得出a＜-

5

27

，
則曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)，
故答案為：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．