Question

如圖，在長方體中，，且．

（I）求證：對任意，總有；

（II）若，求二面角的余弦值；

（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）（III）存在

【解析】

試題分析：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，

，從而，

，即．　　                                            ……4分

（II）由（Ｉ）及得，，

設(shè)平面的法向量為，則，

從而可取平面的法向量為，

又取平面的法向量為，且設(shè)二面角為，

所以　　　　　                                             ……8分

（III） 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，

即，即，

解得 ．

所以存在滿足題意得實(shí)數(shù)，

使得在平面上的射影平分.                                     ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查長方體中的線線垂直的證明、二面角的求法及綜合應(yīng)用問題，考查學(xué)生的空間想象能力和利用空間向量解決立體幾何問題的能力，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力以及分析問題解決問題的能力.

點(diǎn)評：立體幾何問題可以轉(zhuǎn)化為用空間向量來解決，可以省去作二面角、線面角等步驟之間求解，但是求解時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.