Question

16．定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）和g（x），如果對(duì)任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱f（x）在區(qū)間D上可被g（x）替代，D稱為“替代區(qū)間”．給出以下問(wèn)題：
①f（x）=x²+1在區(qū)間（-∞，+∞）上可被g（x）=x²+$\frac{1}{2}$替代；
②如果f（x）=lnx在區(qū)間[1，e]可被g（x）=x-b替代，則-2≤b≤2；
③設(shè)f（x）=lg（ax²+x）（x∈D₁），g（x）=sinx（x∈D₂），則存在實(shí)數(shù)a（a≠0）及區(qū)間D₁，D₂，使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂上被g（x）替代．
其中真命題是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①
• D． ①②

Answer 1

分析 命題①直接由替代的定義得出為真命題；命題②根據(jù)替代的定義，|f（x）-g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)lnx-x+b在[1，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)lnx-x+b的值域，該值域應(yīng)為區(qū)間[-1，1]的子集，從而可得出b的取值范圍，從而判斷該命題的正誤；命題③可先找出一個(gè)D₁∩D₂區(qū)間，可以在此區(qū)間找到一個(gè)x使對(duì)任意a|f（x）-g（x）|＞1，從而便可判斷出該命題錯(cuò)誤，這樣便可最后找出所有的真命題．

解答 解：在①中，∵f（x）=x²+1，g（x）=x²+$\frac{1}{2}$，
∴對(duì)任意x∈（-∞，+∞），都有|f（x）-g（x）|=|1-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$≤1成立，
∴f（x）=x²+1在區(qū)間（-∞，+∞）上可被g（x）=x²+$\frac{1}{2}$替代，故①正確；
在②中，由題意知：|f（x）-g（x）|=|lnx-x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；設(shè)h（x）=lnx-x+b，則h′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
h（1）=b-1，h（e）=1-e+b，
1-e+b≤h（x）≤b-1，又-1≤h（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-e+b≥-1}\\{b-1≤1}\end{array}\right.$，解得e-2≤b≤2，故②錯(cuò)誤；
在③中，若a＞0，解ax²+x＞0，得x＜-$\frac{1}{a}$或x＞0，
可取D₁=（0，+∞），D₂=R，∴D₁∩D₂=（0，+∞），
可取x=π，則|f（x）-g（x）|=aπ²+π，
∴不存在實(shí)數(shù)a（a＞0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代；
若a＜0，解ax²+x＞0得，x＜0，或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴可取D₁=（-∞，0），D₂=R，∴D₁∩D₂=（-∞，0），
取x=-π，則|f（-π）-g（-π）|=|aπ²-π|＞1，
∴不存在實(shí)數(shù)a（a＜0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代．
綜上得，不存在實(shí)數(shù)a（a≠0），使得f（x）在區(qū)間D₁∩D₂ 上被g（x）替代，故③錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)替代定義的理解，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，以及根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求函數(shù)定義域的方法，解一元二次不等式，在說(shuō)明f（x）不能被g（x）替代的舉反例即可．