Question

已知函數(shù)f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，可得函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，分析f（x）與f（-x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可判斷出f（x）的奇偶性；
（2）在R中任取x₁＜x₂，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的定義，可判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）利用分離常數(shù)法，將函數(shù)的解析式化為f(x)=1-

2

3x+1

的形式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用分析法，可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：證明：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

3x+1

=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，理由如下：
在R中任取x₁＜x₂，
則3x1-3x2＜0，3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1-1

3x1+1

-

3x2-1

3x2+1

=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
（3）∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
∴0＜

2

3x+1

＜2
∴-2＜-

2

3x+1

＜0
∴-1＜1-

2

3x+1

＜1
故f（x）的值域?yàn)椋?1，1）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)是簡單綜合應(yīng)用，難度中檔發(fā)．