Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=2a，∠A=60°，E為線段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使A′C=2a，F(xiàn)為線段A′C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）求證：平面A′DE⊥平面ABCD．

Answer 1

解：（Ⅰ）　取A′D的中點(diǎn)G，連接GF，GE，由條件易知：FG∥CD，F(xiàn)G=CD，BE∥CD，BE= CD．
∴FG∥BE，F(xiàn)G=BE．∴四邊形BEGF為平行四邊形，∴BF∥EG，又BF?平面A′DE內(nèi)，∴BF∥平面A′DE．
（Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=2a，AE=EB=EA′=AD=DA′=a，取DE中點(diǎn)H，連接AH、CH，
∴A′H⊥DE，∵∠A=∠A′=60°，∴AH=A′H=a，DH=．
在△CHD中，CH²=DH²+DC²-2DH×DCcos60°=（）²+（2a）²-2××2a×=a²．
在△CHA′中，∵CH²+A′H²=a²+（a）²=4a²=A′C²，∴A′H⊥HC，
又∵HC∩DE=H，∴A′H⊥面ABCD． 又∵A′H?平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面ABCD．
分析：（Ⅰ） 取A′D的中點(diǎn)G，證明四邊形BEGF為平行四邊形，可得 BF∥EG，從而證明BF∥平面A′DE．
（Ⅱ） 取DE中點(diǎn)H，利用等邊三角形的性質(zhì)可得 A′H⊥DE，用勾股定理證明A′H⊥HC，從而 A′H⊥面ABCD，進(jìn)而證明平面A′DE⊥平面ABCD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，取A′D的中點(diǎn)G，取DE中點(diǎn)H，是解題的關(guān)鍵．