（2013•東莞二模）如圖，圓O與離心率為
3
2
的橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相切于點(diǎn)M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1、d2，求
d
2
1
+
d
2
2
的最大值；
②若3
MA
•
MC
=4
MB
•
MD
，求l1與l2的方程．
分析：（1）由題意可知圓的半徑等于1，橢圓的短半軸等于1，根據(jù)e=
c
a
=
3
2
，結(jié)合a2=b2+c2求出橢圓的長半軸，則橢圓方程和圓的方程可求；
（2）①因?yàn)閮芍本�l1、l2相互垂直，所以點(diǎn)P到兩直線的距離d1、d2的平方和可轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到M點(diǎn)距離的平方，利用點(diǎn)P在橢圓上把要求的式子化為含P點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)，利用二次函數(shù)可求最大值；
②設(shè)出直線l1的方程，分別和圓的方程及橢圓方程聯(lián)立A，C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用置換k的方法求出B，D點(diǎn)的坐標(biāo)，分別寫出向量
MA
，
MC
，
MB
，
MD
的坐標(biāo)，代入若3
MA
•
MC
=4
MB
•
MD
中求出k的值，則l1與l2的方程的方程可求．
解答：解：（1）由題意知：
c
a
=
3
2
，b=1．
又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，
聯(lián)立
c
a
=
3
2
a2=c2+1
，解得a=2，c=
3

所以橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．圓O的方程x2+y2=1；
（2）①設(shè)P（x0，y0）因?yàn)閘1⊥l2，則d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2，
因?yàn)?span id="ewsqwwy" class="MathJye">
x
2
0
4
+
y
2
0
=1，所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3(y0+
1
3
)2+
16
3
，
因?yàn)?1≤y0≤1，所以當(dāng)y0=
1
3
時(shí)，
d
2
1
+
d
2
2
取得最大值為
16
3
，此時(shí)點(diǎn)P(±
4
2
3
，
1
3
)．
②設(shè)l1的方程為y=kx+1，
由
y=kx+1
x2+y2=1
，得：（k2+1）x2+2kx=0，由xA≠0，所以xA=-
2k
k2+1
，
代入y=kx+1得：yA=
1-k2
1+k2
．
所以A(-
2k
k2+1
，
1-k2
1+k2
)．
由
y=kx+1
x2
4
+y2=1
，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xC≠0，所以xC=-
8k
4k2+1
，
代入y=kx+1得：yC=
1-4k2
1+4k2
．
所以C(-
8k
4k2+1
，
1-4k2
1+4k2
)．
把A，C中的k置換成-
1
k
可得B(
2k
k2+1
，
k2-1
k2+1
)，D(
8k
k2+4
，
k2-4
k2+4
)
所以
MA
=(-
2k
k2+1
，
-2k2
1+k2
)，
MC
=(
-8k
4k2+1
，
-8k2
4k2+1
)
MB
=(
2k
k2+1
，
-2
k2+1
)，
MD
=(
8k
k2+4
，
-8
k2+4
)
由3
MA•
MC
=4
MB
•
MD
，
得3[(-
2k
k2+1
)(-
8k
4k2+1
)+(-
2k2
1+k2
)(-
8k2
1+4k2
)]
=4[
2k
k2+1
•
8k
k2+4
+(-
2
k2+1
)(-
8
k2+4
)]，
整理得：
3k2
1+4k2
=
4
k2+4
，即3k4-4k2-4=0，解得k=±
2
．
所以l1的方程為y=
2
x+1，l2的方程為y=-
2
2
x+1
或l1的方程為y=-
2
x+1，l2的方程為y=
2
2
x+1．
點(diǎn)評：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和方程思想方法，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，屬難題．
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bn-1
1+bn-1
，b1=2a1，
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{
1
an+2bn
}的前n項(xiàng)和Tn．

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1
x
+
9
y
=1，則2x+3y的最小值為
29+6
6
29+6
6
．

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1
3
x-
π
6
)
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f(
3π
2
)的值；
（3）設(shè)f(3α+
7π
2
)=-
1
2
，求
sin(π-α)+cos(α-π)
2
sin(α+
π
4
)
的值．

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