如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心.

(1)求證:平面A′B′C′∥平面ABC;

(2)求S△A′B′C′∶S△ABC.

(1)證明:連結(jié)PA′、PC′并延長(zhǎng),分別交BC、AB于M、N,

∵A′、C′分別是△PBC、△PAB的重心,

∴M、N分別是BC、AB的中點(diǎn).連結(jié)MN,

由,∴A′C′∥MN,MN?平面ABC.∴A′C′∥平面ABC.

同理,A′B′∥平面ABC.而A′C′和A′B′是平面A′B′C′內(nèi)的相交直線,

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)解析:由(1)可知A′C′∥MN,A′C′∶MN=,∴A′C′=MN=×AC=AC.

同理,A′B′=AB,B′C′=BC.

∴.

∴△A′B′C′∽△ABC.

∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.

小結(jié):相似圖形中,面積之比等于相似比的平方在立體幾何中仍然適用,只需將其相似比求出便可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P分有向線段
AM
所成的比為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△PAB中A1∈PA，B1∈PB，如圖（1）所示，則△PA1B1和△PAB具有面積關(guān)系
S△PA1B1
S△PAB
=
PA 1•PB 1
PA •PB
在平面幾何中該關(guān)系式已經(jīng)證明是成立的．請(qǐng)你在三棱錐P-ABC中（圖2）寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的正確結(jié)論；并給予證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠C是直角，平面ABC外有一點(diǎn)P，PC=24，點(diǎn)P到直線AC、BC的距離PD和PE都等于6
10
，求：
（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離PF；
（2）PC與平面ABC所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=
2
a．
（1）求證：面PAB⊥面ABC；
（2）求PC和△ABC所在平面所成角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)請(qǐng)考生在第（1），（2），（3）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
（1）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F．
（Ⅰ）求
BF
FC
的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1：S2的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，a=
π
6
軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角a=
π
6
．
（ I）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；
（ II）設(shè)l與圓ρ=2相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案