Question

球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，面SAB⊥面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，也就是說(shuō)H為AB中點(diǎn)時(shí)，SH最大，棱錐S-ABC的體積最大．
解答：解：由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖
由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，也就是說(shuō)H為AB中點(diǎn)時(shí)，SH最大，棱錐S-ABC的體積最大．
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以球的半徑r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS，
∴∠HSO=30°，求得SH=OSsin30°=1，
所以體積V=Sh==
點(diǎn)評(píng)：本題考查錐體體積計(jì)算，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定出S位置是關(guān)鍵．考查空間想象能力、計(jì)算能力．