Question

已知某企業(yè)的原有產(chǎn)品，每年投入x萬(wàn)元，可獲得的年利潤(rùn)可表示為函數(shù)：P（x）=-·（x-30）²+8（萬(wàn)元）.現(xiàn)開(kāi)發(fā)一個(gè)回報(bào)率高、科技含量高的新產(chǎn)品，據(jù)預(yù)測(cè)，新產(chǎn)品每年投入x萬(wàn)元，可獲得年利潤(rùn)Q（x）=-（100-x）²+(100-x)（萬(wàn)元）.新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)從“十五”計(jì)劃的第一年開(kāi)始，用兩年時(shí)間完成.這兩年，每年從100萬(wàn)元的生產(chǎn)準(zhǔn)備金中，拿出80萬(wàn)元來(lái)投入新產(chǎn)品開(kāi)發(fā).從第三年開(kāi)始這100萬(wàn)元全部用于新舊兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)投入.

（1）為了解決資金缺口，第一年初向銀行貸款1 000萬(wàn)元，利率為5.5%（不計(jì)復(fù)利），第五年底一次性應(yīng)向銀行償還本息共計(jì)多少萬(wàn)元？

（2）從新產(chǎn)品投產(chǎn)的第三年開(kāi)始，從100萬(wàn)元的生產(chǎn)準(zhǔn)備金中，新舊兩種產(chǎn)品各應(yīng)投入多少萬(wàn)元，才能使年利潤(rùn)最大？

（3）從新舊產(chǎn)品的五年總利潤(rùn)中最高拿出70%來(lái)，能否還清對(duì)銀行的欠款？

Answer 1

解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（萬(wàn)元），本利和為1 275萬(wàn)元.

（2）設(shè)從第三年年初起每年舊產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，新產(chǎn)品投入（100-x）萬(wàn)元，于是每年的利潤(rùn)是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）²+8］+{-［100-(100-x)］²+［100-(100-x)］}=(-x²+x-1)+(-x²+x)=-x²+52x-1=-(x-26)²+675.

    ∴投入舊產(chǎn)品26萬(wàn)元，新產(chǎn)品74萬(wàn)元時(shí)，每年可獲得最大的利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是675萬(wàn)元.

    （3）因?yàn)镻（x）在（0，30］上是增函數(shù)，所以在100萬(wàn)元的生產(chǎn)準(zhǔn)備金中除用于新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)外，剩余的20萬(wàn)元全部投入即可得到最大利潤(rùn).于是，頭2年的利潤(rùn)是W₁=2×P（20）=14（萬(wàn)元）；后3年的利潤(rùn)是W₂=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（萬(wàn)元），故5年的總利潤(rùn)是W=W₁+W₂=2 039萬(wàn)元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以從新舊產(chǎn)品的五年總利潤(rùn)中拿出70%來(lái)，能夠還清對(duì)銀行的欠款.