Question

4．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在線段A₁B₁上運動．
（Ⅰ）求證：PN⊥AM；
（Ⅱ）試確定點P的位置，使直線PN和平面ABC所成的角最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 取AC的中點Q，連結(jié)A₁Q，易知AM⊥A₁Q，可得AM⊥PN．
（Ⅱ） 作PD⊥AB于D，連結(jié)DN，則∠PND為直線PN和平面ABC所成的角．易知當(dāng)ND最短，即ND⊥AB時，∠PND最大，此時D為AB的中點，P為A₁B₁的中點．

解答 解：（Ⅰ） 取AC的中點Q，連結(jié)A₁Q，易知AM⊥A₁Q，
又PN在平面A₁C內(nèi)的射影為A₁Q，所以AM⊥PN．…（6分）
（Ⅱ） 作PD⊥AB于D，連結(jié)DN，則∠PND為直
線PN和平面ABC所成的角．易知當(dāng)ND最短，即ND⊥AB
時，$tan∠PND=\frac{PD}{ND}$最大，從而∠PND最大，此時D為AB的中點，P為A₁B₁的中點．…（12分）

點評 本題考查了空間線線垂直的判定，考查了線面角的求解，屬于中檔題．