Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0.

【解析】

（1）根據(jù)建立關(guān)于的方程求出的值.

（2）本小題實(shí)質(zhì)是在區(qū)間上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立,

然后再討論和兩種情況研究.

（3）時(shí)，方程可化為,

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間極值最值，從而求出值域，問(wèn)題得解.

解：（1）

因?yàn)?/span>為的極值點(diǎn)，所以，即，解得.

又當(dāng)時(shí)，，從而為的極值點(diǎn)成立．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以

在上恒成立.

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

所以在上為增函數(shù)，故符合題意.

②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，

故只能，所以在上恒成立.

令函數(shù)，其對(duì)稱軸為，

因?yàn)?/span>，所以，要使在上恒成立，只要即可，

即，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

綜上所述，的取值范圍為.

（3）當(dāng)時(shí)，方程可化為.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，

即求函數(shù)的值域.

因?yàn)楹瘮?shù)，令函數(shù)，

則，

所以當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此.

而，所以，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．