Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)M（-2，$\frac{\sqrt{6}}{3}$） 在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知斜率為k的直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
①若|AB|=$\sqrt{6}$，求直線l的方程；
②設(shè)點(diǎn)P（$\frac{7}{3}$，0），證明：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2，再將M的坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）①設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線的方程；
②運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿足直線的方程，化簡(jiǎn)整理，代入韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到所求定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=2，即a²-b²=4，
代入M的坐標(biāo)，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{3^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）①設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
代入橢圓方程，可得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
判別式△=144k⁴-4（1+3k²）（12k²-6）=24（1+k²）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{144{k}^{4}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{48{k}^{2}-24}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
解方程可得k=±1，
即有直線l的方程為y=±（x-2）；
②$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-$\frac{7}{3}$，y₁）•（x₂-$\frac{7}{3}$，y₂）=（x₁-$\frac{7}{3}$）（x₂-$\frac{7}{3}$）+y₁y₂
=（x₁-$\frac{7}{3}$）（x₂-$\frac{7}{3}$）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（1+k²）x₁x₂-（2k²+$\frac{7}{3}$）（x₁+x₂）+（4k²+$\frac{49}{9}$）
=（1+k²）•$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$-（2k²+$\frac{7}{3}$）•$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+（4k²+$\frac{49}{9}$）=$\frac{-6（1+3{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{49}{9}$
=-6+$\frac{49}{9}$=-$\frac{5}{9}$．
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的焦點(diǎn)和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．