設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對任意實(shí)數(shù)m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且當(dāng)x<0時,f(x)>1.
(1)證明:①f(0)=1;②當(dāng)x>0時,0<f(x)<1;③f(x)是R上的減函數(shù);
(2)設(shè)a∈R,試解關(guān)于x的不等式f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1.
分析:(1)①令m=n=0,即可求得f(0)=1;②利用當(dāng)x<0時,f(x)>1與f(0)=1即可證得當(dāng)x>0時,0<f(x)<1;③任取x1<x2,可求得f(x1-x2)=
f(x1)
f(x2)
>1
⇒f(x1)>f(x2),從而可證y=f(x)在定義域R上為減函數(shù);
(2)逆用已知f(m)•f(n)=f(m+n),將f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1轉(zhuǎn)化為x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0,再解此不等式即可.
解答:解:(1)①證明:在f(m)•f(n)=f(m+n)中,
令m=n=0
得f(0)•f(0)=f(0+0)即f(0)=f(0)•f(0).
∴f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,則當(dāng)x<0時,
有f(x)=f(x+0)=f(x)•f(0)=0,
與題設(shè)矛盾,
∴f(0)=1.
②當(dāng)x>0時,-x<0,由已知得f(-x)>1,
又f(0)=f[x+(-x)]=f(x)•f(-x)=1,f(-x)>1,
∴0<f(x)=
f(0)
f(-x)
<1,即x>0時,0<f(x)<1.
③任取x1<x2,則f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)•f(x2),
∵x1-x2<0,
∴f(x1-x2)>1,又由(1)(2)及已知條件知f(x2)>0,
∴f(x1-x2)=
f(x1)
f(x2)
>1
∴f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)在定義域R上為減函數(shù).
(2)f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)=f(x2-3ax+1-3x+6a+1)=f[x2-3(a+1)x+2(3a+1)]
又f(0)=1,f(x)在R上單調(diào)遞減,
∴原不等式等價于x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0
不等式可化為(x-2)[x-(3a+1)]≤0
當(dāng)2<3a+1,即a>
1
3
時,不等式的解集為{x|2≤x≤3a+1};
當(dāng)2=3a+1,即a=
1
3
時,(x-2)2≤0,不等式的解集為{2};
當(dāng)2>3a+1,即a<
1
3
時,不等式的解集為{x|3a+1≤x≤2}.
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查函數(shù)單調(diào)性的推理與證明,考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想、方程思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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1
2
 )=2
,則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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