Question

3．如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．將△ABD沿AB折起，使得面ABD⊥面ABC，如圖二，E為AC的中點
（Ⅰ）求證：BD⊥AC；
（Ⅱ）求△ADC的面積；
（Ⅲ）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BD⊥面ABC，即可證明BD⊥AC；
（Ⅱ）證明AC⊥DE，即可求△ADC的面積；
（Ⅲ）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐A-BDE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵面ABD⊥面ABC，面ABD∩面ABC=AB，BD?面ABD，BD⊥AB，
∴BD⊥面ABC，
又∵AC?面ABC，∴BD⊥AC     …（4分）
（Ⅱ）解：∵BD⊥面ABC，BC?面ABC，∴BD⊥BC，
在Rt△DBC中，BC=BA=2，BD=2，
∴DC=2$\sqrt{2}$，
因為BD⊥面ABC，△ABC是正三角形，E為AC的中點，
∴AC⊥BE，AC⊥BD⇒AC⊥面BED⇒AC⊥DE
∴$△ABC中BE=\sqrt{3}，在Rt△BDE中，DE=\sqrt{B{D^2}+B{E^2}}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$
∴${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}AC×ED=\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}=\sqrt{7}$…（8分）
（Ⅲ）解：${V_{A-BDE}}={V_{D-ABE}}=\frac{1}{3}{S_{△ABE}}×BD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AE×BE×BD=\frac{1}{6}×1×\sqrt{3}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三角形面積的求法，考查體積的求法，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．