Question

16．已知點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA與PB的斜率之積是-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN的面積為$\frac{12\sqrt{2}}{5}$時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立y=k（x-1）與橢圓C，利用弦長(zhǎng)公式，表示出△AMN面積，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)得曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x≠±2）；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
∵A（-2，0）到直線y=k（x-1）的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面積=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴k=±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡的方程的求法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．