Question

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就稱(chēng)函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”？
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對(duì)任意的x，x₂∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）只需按照定義作差：|f（x₁）-f（x₂）|，然后尋求|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|成立的條件．
（2）利用f（0）=f（1），進(jìn)行適當(dāng)放縮外，注意添項(xiàng)減項(xiàng)的技巧應(yīng)用，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：對(duì)于任意x₁，x₂∈[0，1]，有0≤x₁+x₂≤2，
∴-1≤x₁+x₂-1≤1，
∴|x₁+x₂-1|≤1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函數(shù)f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平緩函數(shù)”．
（2）證明：當(dāng)|x₁-x₂|＜

1

2

時(shí)，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

當(dāng)|x₁-x₂|≥

1

2

時(shí)，，x₁，x₂∈[0，1]，不妨設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≥

1

2

，
∵f（0）=f（1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|
≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
∴對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤

1

2

．成立．

點(diǎn)評(píng)：新定義函數(shù)類(lèi)型的題目，解答時(shí)要先充分理解定義，對(duì)式子的處理要靈活，各個(gè)式子的內(nèi)在聯(lián)系要充分挖掘出來(lái)，屬于中檔題．