Question

18．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$當目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取得最小值1時，則$\frac{1}{3a}+\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． $4+2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $3+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)可得3a+b=1，再運用“1”的代換利用基本不等式求得$\frac{1}{3a}+\frac{2}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
化目標函數(shù)z=ax+by為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3a+b=1，
則$\frac{1}{3a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{3a}+\frac{2}$）（3a+b）=3+$\frac{3a}+\frac{6a}$$≥3+2\sqrt{2}$．
當且僅當a=$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$，b=2-$\sqrt{2}$時取“=”．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．