設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn
1
2
an2和an的等差中項(xiàng)
(Ⅰ)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明:
1
2
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1
;
(Ⅲ)設(shè)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使對(duì)滿(mǎn)足n>m的一切正整數(shù)n,不等式2Sn-4200>
a
2
n
2
恒成立,試問(wèn):這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè).
分析:(Ⅰ)由已知,4Sn=
a
2
n
+2an
,且an>0,再寫(xiě)一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)利用裂項(xiàng)法求和,即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)先確定集合M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}.因?yàn)閙∈M,可得m組成首項(xiàng)為2100,公差為2的等差數(shù)列,由此可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:由已知,4Sn=
a
2
n
+2an
,且an>0. …(1分)
當(dāng)n=1時(shí),4a1=
a
2
1
+2a1
,解得a1=2.    …(2分)
當(dāng)n≥2時(shí),有4Sn-1=
a
2
n-1
+2an-1

于是4Sn-4Sn-1=
a
2
n
-
a
2
n-1
+2an-2an-1
,即4an=
a
2
n
-
a
2
n-1
+2an-2an-1

于是
a
2
n
-
a
2
n-1
=2an+2an-1
,即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).
因?yàn)閍n+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2).
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,且an=2n.…(4分)
(Ⅱ)證明:因?yàn)閍n=2n,則
1
Sn
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,…(5分)
所以
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)=1-
1
n+1
<1
.…(7分)
因?yàn)?span id="bhnzftx" class="MathJye">1-
1
n+1
隨著n的增大而增大,所以當(dāng)n=1時(shí)取最小值
1
2

故原不等式成立.                                           …(10分)
(Ⅲ)解:由2Sn-4200>
a
2
n
2
,得2n(n+1)-4200>2n2,所以n>2100.  …(12分)
由題設(shè),M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}.
因?yàn)閙∈M,所以m=2100,2102,…,2998均滿(mǎn)足條件,且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2100,公差為2的等差數(shù)列.
設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有k項(xiàng),則2100+2(k-1)=2998,解得k=450.
故集合M中滿(mǎn)足條件的正整數(shù)m共有450個(gè).                  …(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證:an2=2Sn-an;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數(shù),n∈N*)試確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),Sn是其前n項(xiàng)和,且對(duì)任意n∈N*都有an2=2Sn-an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(2n+1)2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),bn=log2an,若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b2=0,bn+1=bn+log2p,其中p為正常數(shù),且p≠1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí),a1•a4•a7•…•a3n-2>a16恒成立?若存在,求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若p=2,設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*,都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立,問(wèn)數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列?若是,請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),它的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an,Sn)在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
,其前n項(xiàng)和為T(mén)n
(1)求an;   
(2)求證:Tn-2n<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江蘇一模)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn,對(duì)于任意正整數(shù)m,n,Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1
恒成立.
(1)若a1=1,求a2,a3,a4及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a4=a2(a1+a2+1),求證:數(shù)列{an}成等比數(shù)列.

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