Question

△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，則AD與平面BCD所成角的余弦值為

2

2

．

Answer 1

分析：作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，通過(guò)求

AD

與平面BCD的夾角去求．

解答：解：設(shè)AB=1，作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，
建立坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，所以△ABC與△BCD都是正三角形，可得下列坐標(biāo)：
O（0，0，0），D（

3

2

，0，0），B（0，-

1

2

，0），C（0，

1

2

，0），A（0，0，

3

2

）

AD

=（

3

2

，0，-

3

2

），顯然

n1

=（0，0，1）為平面BCD的一個(gè)法向量，
|cos＜

AD

，

n1

＞|=|

- 3 2

3 2 ×1

|=|-

2

2

|=

2

2

∴直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的余弦值為：

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，計(jì)算能力．利用空間向量的知識(shí)，則使問(wèn)題論證變成了代數(shù)運(yùn)算，使解決問(wèn)題更加方便．