Question

設

m

和

n

是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量

a

=2

m

+

n

與

b

=2

n

-3

m

的夾角θ．

Answer 1

分析：由向量的模及夾角為60°，得向量的數(shù)量積，欲求向量

a

，

b

的夾角，根據(jù)夾角公式，須求出兩個向量的模及數(shù)量積，最后利用夾角公式計算即得．

解答：解：由|

m

|=1，|

n

|=1，夾角為60°，得

m

•

n

=

1

2

．
則有|

a

|=|2

m

+

n

|=

(2 m + n )2

=

4 m 2+4 m • n + n 2

=

7

|

b

|=|2

n

-3

m

|=

(2 n -3 m )2

=

4 n 2-12 m n +9 m 2

=

7

所以

a

•

b

=(2

m

+

n

)•(2

n

-3

m

)=

m

•

n

-6

m

2+2

n

2=-

7

2

，
得cosθ=

- 7 2

7

=-

1

2

，
∴

a

，

b

的夾角為120°．

點評：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律、數(shù)量積表示兩個向量的夾角等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．