對于給定首項x(a>0),由遞推公式xn+1=(xn+)(n∈N)得到數(shù)列{xn},對于任意的n∈N,都有xn,用數(shù)列{xn}可以計算的近似值.
(1)取x=5,a=100,計算x1,x2,x3的值(精確到0.01);歸納出xn,xn+1,的大小關(guān)系;
(2)當(dāng)n≥1時,證明:xn-xn+1(xn-1-xn);
(3)當(dāng)x∈[5,10]時,用數(shù)列{xn}計算的近似值,要求|xn-xn+1|<10-4,請你估計n,并說明理由.
【答案】分析:(1)利用數(shù)列遞推式,代入計算,即可得到結(jié)論,同時可猜想結(jié)論;
(2)作差,利用條件,證明其大于0,即可得到結(jié)論;
(3)由題意,只要,由此可估計n的值.
解答:(1)解:∵x=5,a=100,xn+1=(xn+
∴x1=(5+)≈4.74
同理可得x2≈4.67,x3≈4.65
猜想xn>xn+1;
(2)證明:xn-xn+1-(xn-1-xn)==
;
∴xn-xn+1==>0
∴xn>xn+1

(3)解:由(2)知<…<
由題意,只要,即2n>104(x-x1

∴n>=15.1
∴n=16.
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查不等式的證明,考查放縮法的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度較大.
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