Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x+2）-f（x）=0，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx+ax，當(dāng)x∈（-4，-2）時(shí)，f（x）的最大值為-4．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）設(shè)b≠0，函數(shù)，x∈（1，2）．若對(duì)任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)在（-4，-2）上的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值（用a表示），令其等于-4，從而求出a；
（II）由任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）值域的子集，即轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的值域，用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法即可解決．
解答：解：（I）由已知，得2f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分）
∵x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx+ax，
設(shè)x∈（-4，-2），則x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（-4，-2）時(shí)，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
所以，
∵x∈（-4，-2），
∴-4ax＜4+16a，
∵，
∴．
又由，可得，
∴f（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
∴．
∴a=-1（7分）

（II）設(shè)f（x）的值域?yàn)锳，g（x）的值域?yàn)锽，
則由已知，對(duì)于任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0得，A⊆B．（9分）
由（I）a=-1，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）=lnx-x，，
∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（x）的值域?yàn)锳=（ln2-2，-1）（10分）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），
∴（1）當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在（1，2）上是減函數(shù)，
此時(shí)，g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212121702363884/SYS201310232121217023638020_DA/9.png">，
為滿足A⊆B，又
∴即．（11分）
（2）當(dāng)b＞0時(shí)，g（x）在（1，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
此時(shí)，g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212121702363884/SYS201310232121217023638020_DA/13.png">，為滿足A⊆B，
又，∴，
∴，
綜上可知b的取值范圍是（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最值中的應(yīng)用，考查子集概念的理解，解題的關(guān)鍵是分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，化“生”為“熟”是解題之“良方”．