Question

過點(diǎn)P（-1，10）作傾斜角為a直線與曲線

x2

3

+

y2

2

=1相交于M、N兩點(diǎn)
（1）寫出直線MN的參數(shù)方程；
（2）求PM•PN的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直線MN過點(diǎn)P（-1，10）且傾斜角為a，根據(jù)直線參數(shù)方程的定義，將P點(diǎn)坐標(biāo)和傾斜角代入即可得到直線MN的參數(shù)方程；
（2）將（1）中所得直線參數(shù)方程代入曲線

x2

3

+

y2

2

=1方程，并將其化為一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)|PM|•|PN|=|t₁•t₂|，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出PM•PN的最小值．

解答：解：（1）∵直線MN過點(diǎn)P（-1，10）
且傾斜角為a
∴直線MN的參數(shù)方程為：

x=-1+t•cosα y=t•sinα

（t為參數(shù)）…2分
（2）將直線MN的參數(shù)方程代入曲線

x2

3

+

y2

2

=1得
2（-1+t•cosα）²+3（t•sinα）²=6，整理得
（3-cos²α）•t²-4cosα•t-4=0，…5分
設(shè)M，N對應(yīng)的對數(shù)分別為t₁，t₂，
則|PM|•|PN|=|t₁•t₂|=

4

3-cos2α

…8分
當(dāng)cosα=0時(shí)，|PM|•|PN|取得最小值為

4

3

…10分

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線的參數(shù)方程與參數(shù)方程的優(yōu)越性，其中求出直線的方程，并正確理解參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵．