已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且過(guò)點(diǎn)(
2
2
，
3
2
)．
（I）求橢圓的方程；
（II）已知點(diǎn)C（m，0）是線段OF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)），是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使|AC|=|BC|，并說(shuō)明理由．
（I）由題意，
a2-b2
a2
=
1
2
1
2
a2
+
3
4
b2
=1
，∴
a2=2
b2=1
，∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得
（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，則△=16k4-4（1+2k2）（8k2-2）=-16k2+8＞0，∴k2＜
1
2

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8k2
1+2k2
，y1+y2=-
4k
1+2k2

∴AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（
4k2
1+2k2
，-
2k
1+2k2
）
∴AB的垂直平分線的方程為y+
2k
1+2k2
=-
1
k
（x-
4k2
1+2k2
）
將點(diǎn)C（m，0）代入可得0+
2k
1+2k2
=-
1
k
（m-
4k2
1+2k2
）
∴m=
2k2
1+2k2

∵0＜m＜2
∴0＜
2k2
1+2k2
＜2恒成立
∴存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使|AC|=|BC|．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案