Question

8．不等式λ（x²+y²+z²）≥xy+2yz對于任意非零實數(shù)x，y，z均成立，則實數(shù)λ的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由于不等式λ（x²+y²+z²）≥xy+2yz對于任意非零實數(shù)x，y，z均成立，依題意，只要考慮x，y，z都大于0的情況即可．不等式兩邊同除以y²，化為：λ$[（\frac{x}{y}）^{2}+（\frac{z}{y}）^{2}+1]$≥$\frac{x}{y}+2•\frac{z}{y}$，令$\frac{x}{y}$=a＞0，$\frac{z}{y}$=b＞0．則上述不等式化為：a²+b²+1≥$\frac{1}{λ}a+\frac{2}{λ}$b，a＞0，b＞0．通過配方求出λ的取值范圍即可得出．

解答 解：由于不等式λ（x²+y²+z²）≥xy+2yz對于任意非零實數(shù)x，y，z均成立，求實數(shù)λ的最小值．
因此只要考慮x，y，z都大于0的情況即可．
不等式兩邊同除以y²，化為：λ$[（\frac{x}{y}）^{2}+（\frac{z}{y}）^{2}+1]$≥$\frac{x}{y}+2•\frac{z}{y}$，令$\frac{x}{y}$=a＞0，$\frac{z}{y}$=b＞0．
則上述不等式化為：a²+b²+1≥$\frac{1}{λ}a+\frac{2}{λ}$b，a＞0，b＞0．
配方為：$（a-\frac{1}{2λ}）^{2}$+$（b-\frac{1}{λ}）^{2}$≥$\frac{5-4{λ}^{2}}{4λ}$．
∴0≥$\frac{5-4{λ}^{2}}{4λ}$，解得$0＜λ≤\frac{\sqrt{5}}{2}$．
因此λ的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、換元法、配方法、實數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．