Question

如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線交BC于點F，D是AF的延長線與⊙O的交點，AC的延線與⊙O的切線DE交于點E．
（1）求證：

CE

BD

=

DE

AD

（2）若BD=3

2

，EC=2，CA=6，求BF的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連接CD，證明△ABD∽△DCE，即可證明：

CE

BD

=

DE

AD

（2）若BD=3

2

，EC=2，CA=6，求出DE，證明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．

解答： （1）證明：連接CD，則
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，

BD

=

CD

，
∵DE是圓O的切線，
∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．
∵∠DCE是四邊形ABCD的外角，
∴∠DCE=∠ABD，
∴△ABD∽△DCE，
∴

CE

BD

=

DE

AD

．
（2）解：∵

BD

=

CD

，BD=3

2

，
∴BD=CD=3

2

，∠CBD=∠BCD，
∵DE是圓O的切線，EC=2，CA=6，
∴∠CDE=∠CBD，DE²=EC•EA=16，
∴DE=4，
∴∠CDE=∠BCD，
∴DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=∠ADB，
∴△DCE∽△BFD，
∴

BF

DC

=

BD

DE

，
∴BF=

BD•DC

DE

=

9

2

．

點評：本題是一道切線的性質(zhì)運(yùn)用的解答題，考查了切割線定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定．綜合性較強(qiáng)，難度較大．