Question

【題目】如圖,在四棱錐中,平面,為線(xiàn)段上一點(diǎn)不在端點(diǎn).

(1)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，求證：面

(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是否存在，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，若存在求出M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，

【解析】

（1）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)，利用直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直，證明即可.法二：取BP的中點(diǎn)E，連接，，則，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明即可.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，根據(jù)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，求平面的法向量為，根據(jù)，求解，即可.

(1)方法一：證明：因?yàn)?/span>平面，，平面.

所以.

又，所以，，兩兩垂直.

分別以、、所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，.

顯然平面的法向量為，則

又不在平面內(nèi)，所以平面.

方法二：取的中點(diǎn)，連接，

由為的中點(diǎn)，可知

在平面四邊形中，

即，所以，即

由已知得

所以，四邊形是平行四邊形，所以

因?yàn)?/span>平面，平面

所以平面

(2)假設(shè)存在點(diǎn)M使得與平面所成角的正弦值為

則，所以

為中點(diǎn)，則，即

設(shè)平面的法向量為

∴，不妨設(shè)，則

∴

設(shè)線(xiàn)面角為，則

解得或1（舍去）

∴時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．