Question

將完全相同的3個(gè)球隨機(jī)地放入1，2，3號(hào)盒子中（每盒放球數(shù)不限），求：
（1）3個(gè)球放入同一個(gè)盒子的概率；
（2）3個(gè)盒子中都有球的概率；
（3）至少有一個(gè)盒子沒(méi)球的概率；
（4）恰有一個(gè)盒子沒(méi)有球的概率．

Answer 1

分析：由分步乘法原理可知，將完全相同的3個(gè)球隨機(jī)地放入1，2，3號(hào)盒子中，共有3³=27種放法，每種放法是等可能的．
（1）事件A“3個(gè)球放入同一個(gè)盒子”的放法有3種：3個(gè)球放入1號(hào)盒子，或2號(hào)盒子，或3號(hào)盒子．利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）事件B“3個(gè)球放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子中都有球”，等價(jià)于每個(gè)盒子只放1個(gè)球，有

A

3 3

種方法．利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（3）事件C“3個(gè)球放入3個(gè)盒子，至少有一個(gè)盒子沒(méi)球”與事件B是對(duì)立事件，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（4）事件D“3個(gè)球放入3個(gè)盒子，恰有一個(gè)盒子沒(méi)有球”與事件D，A的關(guān)系是：C=D+A，并且事件D和A是互斥事件，利用互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答：解：由分步乘法原理可知，將完全相同的3個(gè)球隨機(jī)地放入1，2，3號(hào)盒子中，共有3³=27種放法，每種放法是等可能的．
（1）記“3個(gè)球放入同一個(gè)盒子的概率”為事件A．
3個(gè)球放入同一個(gè)盒子的放法有3種：3個(gè)球放入1號(hào)盒子，或2號(hào)盒子，或3號(hào)盒子．
故P(A)=

3

27

=

1

9

．
（2）記“3個(gè)球放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子中都有球”為事件B．
3個(gè)球放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子中都有球，等價(jià)于每個(gè)盒子只放1個(gè)球，有

A

3 3

=6種方法．
故P(B)=

6

27

=

2

9

．
（3）記“3個(gè)球放入3個(gè)盒子，至少有一個(gè)盒子沒(méi)球”為事件C．
因?yàn)槭录﨏是事件B的對(duì)立事件，所以P(C)=1-P(B)=1-

2

9

=

7

9

．
（Ⅳ）記“3個(gè)球放入3個(gè)盒子，恰有一個(gè)盒子沒(méi)有球”為事件D．由題意可知，C=D+A．
因?yàn)槭录﨑和A是互斥事件，所以P（C）=P（D）+P（A），P(D)=P(C)-P(A)=

7

9

-

1

9

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：正確理解分步乘法原理、古典概型的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、互斥事件的概率計(jì)算公式、全排列的意義是解題的關(guān)鍵．