Question

已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0時，g（x）=f（x）+λx²≤0，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求最值實質(zhì)就是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的問題，
（Ⅱ）先求得g′（x），然后對參數(shù)λ進行分類討論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（1-x）e^x-1．
∴f′（x）=-xe^x，
當(dāng)x=0時，f′（x）=0；當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0；
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；
故f（x）_max=f（0）=0．    
（Ⅱ）由g（x）=（1-x）e²+λx²-1，得g′（x）=-x（e^x-2λ）．
當(dāng)λ≤0時，由（Ⅰ）得g（x）=f（x）+λx²≤f（x）≤0成立； 
當(dāng)0＜λ≤

1

2

時，因為x∈（0，+∞）時g′（x）＜0，所以x≥0時，
g（x）≤g（0）=0成立；  
當(dāng)λ＞

1

2

時，因為x∈（0，ln2λ）時，g′（x）＞0，所以g（x）＞g（0）=0．
綜上，知λ的取值范圍是(-∞，

1

2

]．

點評：本題主要考查了函數(shù)的最值得求法，以及求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是求導(dǎo)．