Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于點(diǎn)N，M是PD中點(diǎn)．
（1）用空間向量證明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求點(diǎn)N到平面ACM的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算證明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式，求解．
（3）根據(jù)AN⊥PC，利用射影定理求出

NC

PC

，再利用公式求出P的平面的距離，然后求N到平面的距離．

解答：解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）

CM

=（-2，-2，2），

AM

=（0，2，2），
∵

CM

•

AM

=-4+4=0，∴CM⊥AM
∵PA=AD，M為PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD
∴AM⊥平面PCD，AM?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD
（2）設(shè)

n

=（x，y，z）是平面ACM的法向量，則

2y+2z=0 -2x-2y+2z=0

，令z=-1，得

n

=（-2，1，-1）

CD

=（-2，0，0）
設(shè)直線CD與平面ACM所成角為α，則sinα=

n • CD

| n || CD |

=

6

3

．
（3）∵AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA²=PN×PC，PC=6，∴PN=

8

3

，則NC=PC-PN=

10

3

，

NC

PC

=

5

9

，∴所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的

5

9

，
設(shè)點(diǎn)P到平面ACM距離為h，則h=|

AP • n

| n |

|=

4

6

=

2 6

3

，
∴點(diǎn)N到平面ACM的距離為

10 6

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量法求空間角、空間距離問(wèn)題．利用向量求直線與平面所成的角及點(diǎn)到平面的距離關(guān)鍵是求得平面的法向量．