Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

x²e^x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，不等式f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）q求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍為遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0得到f（x）的遞減區(qū)間．
（2）令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根，然后求出根對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求出f（x）的值域，得到m的范圍．

解答：解：（1）f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)…（2分）
令

ex

2

x(x+2)＜0得x＞0或x＜-2
∴f（x）的單增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）；
單減區(qū)間為（-2，0）．…（6分）
（2）令f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)=0
∴x=0和x=-2，…（8分）
∴f(-2)=

2

ex

，f(2)=2e2，f(0)=0
∴f（x）∈[0，2e²]…（11分）
∴m＜0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常利用的工具是導(dǎo)數(shù)；解決不等式恒成立的問題，一般分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．