Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{sin2x+2{{cos}^2}x}}{cosx}$
（Ⅰ）求f（x） 的定義域及$f（\frac{π}{4}）$ 的值；
（Ⅱ）求f（x） 在$（0，\frac{π}{2}）$ 上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)成立的條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．
（Ⅱ）將函數(shù)進行化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由cosx≠0，可得x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
所以f（x）的定義域為$\left\{{x\left|{x≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\right.}\right\}$，
.$f（\frac{π}{4}）=\frac{1+1}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=2\sqrt{2}$．
（Ⅱ）$f（x）=\frac{{sin2x+2{{cos}^2}x}}{cosx}$=$\frac{{2sinxcosx+2{{cos}^2}x}}{cosx}$=2sinx+2cosx=$2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
因為$x∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$．
因為函數(shù)y=sinx 在$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$ 上單調(diào)遞增，
所以$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$ 時，$f（x）=2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$ 單調(diào)遞增，
此時$x∈（0，\frac{π}{4}）$，
所以，函數(shù)f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$ 上的單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{π}{4}）$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．