Question

設(shè)正實數(shù)a，b滿足等式2a+b=1且有2-4a²-b²≤t-恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是________．

Answer 1

分析：正實數(shù)a，b滿足等式2a+b=1?4a²+b²=1-4ab，故有2-4a²-b²≤t-恒成立?t≥2-（1-4ab）+=4ab+2-=4 -恒成立，故t需大于或等于4-的最大值，由基本不等式可求得的最大值，從而得到4-的最大值，問題解決了．
解答：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2-4a²-b²≤t-恒成立可轉(zhuǎn)化為：t≥2-（1-4ab）+恒成立；
又2-（1-4ab）+=4ab+2-=4 -，
∴t≥（a＞0，b＞0，2a+b=1），
由基本不等式可得：1=2a+b≥2，故≤（當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=時取“=”），
∴=4-=-=．
故答案為：．
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，難點在于對條件中“-4a²-b²”的觀察與應(yīng)用，著重考查基本不等式的性質(zhì)與函數(shù)單調(diào)性及對恒成立問題的理解與應(yīng)用，屬于難題．