Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b，c為常數(shù)，若函數(shù)f（x）在x=-2處取得極值，且f′（0）=4，
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)令f'（-2）=0、f′（0）=4求出b、c的值．
（2）令導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]時(shí)恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（b+2a）x+b+c]e^x
由f′（-2）=0?4a-2（b+2a）+b+c=0?b=c，
由

lim

x→0

f(x)-c

x

=4得到：f′(0)=4，所以b+c=4，
所以b=2，c=2；
（2）由題意知道ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
即a≥-

2x+4

x2+2x

在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
設(shè)g(x)=-

2x+4

x2+2x

，x∈[1，2]，
則g(x)=-

2

x

在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，所以g(x)的最大值為g(2)=-1，
所以a≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．