Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（1）當(dāng)x∈[

π

24

，

7π

24

]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（

θ

2

）=

6

5

，θ∈（0，π），求cos2θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角三角函數(shù)公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)整理得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，再討論得出2x+

π

4

∈[

π

3

，

5π

6

]，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f（x）的值域；
（2）代入（1）中的表達(dá)式，由f（

θ

2

）=

6

5

得sin（θ+

π

4

）=

2

10

，結(jié)合θ∈（0，π）算出cos（θ+

π

4

）=

7 2

10

，再利用配角得到cosθ=cos[（θ+

π

4

）-

π

4

]=

4

5

，最后利用二倍角余弦公式即可得到cos2θ的值．

解答：解：∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1．
由此可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1
（1）∵x∈[

π

24

，

7π

24

]，∴2x+

π

4

∈[

π

3

，

5π

6

]
由此可得，當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時(shí)函數(shù)的最大值為1+

2

當(dāng)2x+

π

4

=

5π

6

，即x=

7π

24

時(shí)函數(shù)的最小值為1+

2

2

=

3

2

．
∴當(dāng)x∈[

π

24

，

7π

24

]，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1+

2

2

，1+

2

]
（2）由f（

θ

2

）=

2

sin（θ+

π

4

）+1=

6

5

，得sin（θ+

π

4

）=

2

10

∵θ∈（0，π），得θ+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

）
∴結(jié)合sin（θ+

π

4

）=

2

10

＜

1

2

且為正數(shù)，得θ+

π

4

∈（

5π

6

，π）
因此cos（θ+

π

4

）=

1-sin2(θ+ π 4 )

=

7 2

10

∴cosθ=cos[（θ+

π

4

）-

π

4

]=

7 2

10

×

2

2

+

2

10

×

2

2

=

4

5

可得cos2θ=2cos²θ-1=2×

16

25

-1=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)值域并求三角函數(shù)值，著重考查了三角恒等變形、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．