當(dāng)n≥2(n∈N*)時，Sn=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
n2
)，  Tn=
n+1
2n

（1）求S2，S3，T2，T3；（2）猜測Sn與Tn的關(guān)系且證明．
分析：（1）利用n=2，3，4，分別求出T2，T3，S2，S3，的值；
（2）通過（1）的數(shù)值，猜想Sn與Tn的關(guān)系；利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證n=2時猜想成立，然后假設(shè)n=k猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立．
解答：解：（1）S2=1-
1
4
=
3
4
，S3=(1-
1
4
)(1-
1
9
)=
2
3

T2=
2+1
2×2
=
3
4
，T3=
3+1
2×3
=
2
3

（2）猜想：Sn=Tn，用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①n=2時，由（1）知成立；
②假設(shè)n=k（k≥2，k∈N）時等式處立．
即(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
k2
)=
k+1
2k
，則n=k+1時，
Sk+1=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
k2
)[1-
1
(k+1)2
]

=
k+1
2k
•[1-
1
(k+1)2
]=
(k+1)2-1
2k(k+1)
=
(k+1)+1
2(k+1)

所以n=k+1時，等式成立，
由①②可知對于n≥2，n∈N猜想成立．
點(diǎn)評：本題是考查數(shù)學(xué)歸納法的證明與應(yīng)用，正確的猜想是數(shù)學(xué)歸納法的證明的前提，注意n=k+1證明時用上假設(shè)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于數(shù)列{xn}，如果存在一個正整數(shù)m，使得對任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當(dāng)xn=2時，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)yn=sin(
π
2
n)時，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•成都二模）已知數(shù)列{an}中，a1=
2
3
，a2=
8
9
且當(dāng)n≥2，n∈N時，3a n+1=4a-a n-1
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記
n
i=1
ai=a1•a2•a3…an，n∈N*
（1）求極限
lim
n→∞
n
i=1
 （2-2 i-1）
（2）對一切正整數(shù)n，若不等式λ
n
i=1
ai＞1（λ∈N*）恒成立，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x軸上有一點(diǎn)列P1，P2，P3，…，Pn，…，且當(dāng)n≥2時，點(diǎn)Pn是把線段Pn-1Pn+1作n等分的分點(diǎn)中最靠近Pn+1的點(diǎn)，設(shè)線段P1P2，P2P3，…，PnPn+1的長度分別為a1，a2，a3，…，an，其中a1=1．
（I）寫出a2，a3和an（n≥2，n∈N*）的表達(dá)式；
（II）記bn=
an+3
an
(n∈N*)，證明：b1+b2+b3+…+bn＜
1
4
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

當(dāng)n≥2(n∈N*)時，Sn=(1-
1
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)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
n2
)，  Tn=
n+1
2n

（1）求S2，S3，T2，T3；（2）猜測Sn與Tn的關(guān)系且證明．

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同步練習(xí)冊答案