Question

一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切.

(I)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．(II)試探究圓心M的軌跡上是否存在點(diǎn)，使直線與的斜率？若存在，請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）

 

Answer 1

【答案】

(I)  (II) 圓心M的軌跡上存在四個(gè)點(diǎn)，使直線與的斜率.

 【解析】解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為．

由題意，得，，                        (1分)

, 由橢圓定義知在以為焦點(diǎn)的橢圓上，    (3分)

且，．                (5分)

動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為．          (6分)

(II) 由（I）知?jiǎng)訄A圓心M的軌跡是橢圓，它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和 (7分)                                         

設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，由得      (9分)

即，這是實(shí)軸在軸，頂點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線，它與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。由于雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，根據(jù)橢圓和雙曲線的對稱性可知，它們必有四個(gè)交點(diǎn).

即圓心M的軌跡上存在四個(gè)點(diǎn)，使直線與的斜率.    (12分)